根据我国相关法规及程序规定，对于刑事案件中的犯罪嫌疑人，其在看守所内的拘留期上限通常为37天。在此期间，公安机关将积极展开全面、严谨的侦查工作，一旦发现存在犯罪事实，便会依法向检察机关提出申请，请求批准对该嫌疑人实施逮捕。若检察机关未能批准逮捕，或者经过深入侦查后认定嫌疑人并未触犯刑法，那么该嫌疑人将会获得释放，或者由公安机关依法变更对其实施的强制措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。