涉案者因售卖假药而遭刑事拘留期间，其上限通常为整整37日。之所以如此规定，乃是依据我国《刑事诉讼法》的规定，公安机关对犯罪嫌疑对象进行拘押审问的时间一般不得超出14天；但若牵扯到跨地区犯罪、多次数犯罪以及团伙犯罪等情节严重的情况，则可依法将拘押期限延长至30天。此外，检察院在接手相关案件之后，有义务于7个工作日内就是否批准逮捕作出决断。因此，综合而言，潜在的拘留期限大概在近1个月左右。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条：公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。