在面对涉及开设赌博活动所涉及的刑事责任时，首先会启动由公安机关负责的刑事拘留措施，作为刑事诉讼程序的一个重要环节。在此之后，此案将会被移交至检察机关进行审查起诉。最终，该案件将接受法院的全面审理，以确保法律责任的公正认定与裁定。依据我国现行的《中华人民共和国刑事诉讼法》的明确规定，公安机关在判断某项行为是否构成犯罪、是否需要追究其刑事责任时，应根据实际情况进行立案处理；若认为无犯罪事实存在，或犯罪事实极其轻微，无需追究刑事责任，则应决定不予立案。因此，对于开设赌博活动的案件，必须经过法院的严格审判，才能最终确定相关人员的法律责任。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百零九条
公安机关或者人民检察院发现犯罪事实或者犯罪嫌疑人，应当按照管辖范围，立案侦查。