依据相关法律规定，因发表不当言论导致的刑事拘留，其具体期限将视案件严重性以及司法程序进度而定。通常情况下，该拘留期最长可以达到37日。然而，需要明确指出的是，拘留期的长短并不等同于是否会产生案底。案底的形成与否，主要取决于法院的最终判决结果。若在刑事诉讼过程中，当事人并未被提起公诉或者被判定为无罪，那么通常情况下，他们将不会拥有犯罪记录。但是，一旦被判定有罪，那么案底便会随之而来。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。