根据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，涉嫌贿赂罪被采取刑事拘留措施的最长期限通常为37天。这主要是由于该法案明确指出，公安机关对犯罪嫌疑人实施逮捕之后的侦查羁押期限一般情况下不能超过两个月，但是针对那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大复杂案件，则可以依法延长一个月的时间。
此外，在实施逮捕之前的拘留期间，一般的拘留期限为三日，如遇特殊情况，可以适当延长至七日；对于重大且复杂的案件，拘留期限则可以延长至三十日。因此，综合考虑上述因素，贿赂罪的刑事拘留最长时长可以达到37天。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条：公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大复杂案件，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。