在对团伙寻衅滋事行为进行处理时，其拘留期原则上应遵循普通刑事拘留的相关规定，即不得超过法定的最长期限——37日。这个期限同时涵盖了警方展开初步调查所需的时间。若经调查取证后发现证据确凿充分，涉案人员有可能会面临逮捕并被送入司法审判程序。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。