依照我国《中华人民共和国刑事诉讼法》之相关规定，在执行刑事拘留期间，涉案嫌犯应在本地看守所接受羁押监管。具体而言，公安机关对于任何涉嫌违法犯罪的人员，在对其采取拘留措施之后，须立即履行送罪犯至看守所收押的职责，且最长时间不得超过二十四个小时。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十三条
公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。
拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。