在公安机关对被拘留人员进行审议并决定是否需要逮捕的过程中，应当遵守以下流程：
首先，应当在拘留行为发生的三日内前提请当地人民检察院进行审批；
其次，如果存在特殊情况且经过县级以上公安机关负责人的许可，那么提请审查批准的期限则可以相应地延长至一到四个工作日；
最后，对于涉嫌流窜作案、多次作案或者结伙作案的重大嫌疑人，同样需要经过县级以上公安机关负责人的批准，并且其提请审查批准的期限可以延长至三十个自然日。因此，根据上述规定，公安机关所能决定的刑事拘留最长期限为三十七个自然日。

《刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。
在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。
人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。
对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。