依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》中第九十一条之明文规定，若公安机关对于被拘留的人员，评估认为其需要予以逮捕，则应于拘留之后的三个自然日内，向人民检察院提交审查批捕请求。
然而，针对一些特殊情况，包括流窜作案、多次作案以及结伙作案等重大嫌疑分子，公安机关可申请延长审查批捕期限，最长可达三十天。
在此期间内，人民检察院有义务在收到公安机关提交的审查批捕申请书后的七个自然日内，做出是否批准逮捕的决定。
因此，贩卖毒品的犯罪嫌疑人在通常情况下，其刑事拘留期应在拘留后的三个自然日内提交给人民检察院进行审查批捕。
若该嫌疑人属于流窜作案、多次作案、结伙作案等重大嫌疑分子，公安机关可申请延长审查批捕期限至三十天。
人民检察院在收到公安机关提交的审查批捕申请书后，应在七个自然日内做出决定。
若人民检察院未批准逮捕，公安机关应立即释放嫌疑人，并将执行情况及时告知人民检察院。
如需进一步侦查，且符合取保候审、监视居住条件者，依法对其实施取保候审或监视居住措施。
总而言之，贩卖毒品的犯罪嫌疑人的刑事拘留期限取决于具体情况，一般情况下为三个自然日，但在特殊情况下或对于重大嫌疑分子，拘留期限可延长至三十天。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。