醉酒打人可能构成多种罪行，主要有以下几种情况。
如果只是偶尔的醉酒后失控打人，且造成的伤害较轻，比如只是皮外伤、软组织挫伤等，可能构成故意伤害罪。
故意伤害罪是指故意非法损害他人身体健康的行为，一般会根据受伤的程度来判断量刑的轻重，比如轻伤可能处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；
重伤则处三年以上十年以下有期徒刑等。
如果醉酒打人的行为非常恶劣，比如持凶器打人，或者有多次醉酒打人的前科等，可能会构成寻衅滋事罪。
寻衅滋事罪是指肆意挑衅，随意殴打、骚扰他人或任意损毁、占用公私财物，或者在公共场所起哄闹事，严重破坏社会秩序的行为。
这种情况下，量刑通常会比单纯的故意伤害罪更重。
此外，如果醉酒打人导致他人重伤或死亡，那直接就构成故意伤害罪或过失致人重伤罪、过失致人死亡罪等，其量刑将更为严厉，可能会面临长期的监禁甚至死刑。
总之，醉酒不能成为打人的借口，无论何种情况，打人都是违法行为，都要承担相应的法律责任。