通常来说，派出所在接到相关案件进行立案之后，其双方能否通过私下和解来撤回该案件，这需要依据具体的实际情况作出判断。
假若当前所涉及到的是涉及严重公共安全及损害公众利益的刑事公诉案件，例如涉及故意伤害导致他人轻伤以上、盗窃、诈骗等行为，即便双方能够达成和解协议并私下解决问题，公安机关也无法擅自撤销此案。
因为这些类型的犯罪行为所侵犯的不仅仅是个体的权益，更是对社会公共秩序以及国家利益造成了严重的威胁。
然而，对于那些性质较为轻微的治安案件，或者情节显著轻微且危害程度较小的刑事案件，倘若双方能够达成和解，公安机关则有可能会根据具体的实际情况来考虑是否撤销此案。
总的来说，案件能否被撤销，主要取决于案件的性质、情节、社会危害程度等多个方面的综合考量。