对于行贿罪的立案后处理流程，法律并未就公安机关向犯罪嫌疑人发出通知的时限做出明确规定。
然而，一旦立案程序启动，侦查机关将依据案情展开深入调查，在此过程中，他们有可能依法对涉案人员实施传唤、拘留或者采取其他必要的侦查手段。
至于具体的执行时间，则主要取决于案件的复杂程度以及证据搜集工作的进展状况等多种因素。

《刑事诉讼法》第一百五十四条对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。