在遭遇刑事拘留之后，申请取保候审的具体时限并未有严格的规定。
通常情况下，公安部门若认为需对被拘留人员进行逮捕，应在拘留期内的第三天起开始，向人民检察院提交相关申请以供审查批准。
然而，在某些特殊情形下，申请审查批准的期限可以适度延长一天至四天之久。
而针对那些流动性较强、曾多次实施犯罪行为或与他人结伙作案的重大嫌疑人等对象，提交审查批准的时间甚至可以再延长至整整三十天。
人民检察院则需在接收到公安部门的捕诉申请以及相关材料后的七日内，做出是否批准逮捕的决策。
如若未获批准，公安部门需立即释放当事人，并按照要求及时将处理结果通知给人民检察院。
对警方而言，若认为有必要进一步调查取证且符合相关法律规定的取保候审或监视居住条件的，可依法对其采取相关强制措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。