在涉及到刑事拘留后向司法机关提出保释申请（亦称为取保候审）的过程中，并未有明确且固定的期限规定。
一般而言，在刑事拘留阶段，当事人均可向相关机构提交取保候审申请，但需满足特定法定条件。
具体包括：可能被判处管制、拘役或单独适用附加刑的犯罪嫌疑人；
预计会被判处有期徒刑以上重罪，但采取保释措施不会对其本人和社会造成明显风险者；
患有严重疾病、无法自理生活，或是正处在怀孕期或哺乳期的妇女，采用保释措施也不会引发社会安全问题者；
以及在羁押期限即将届满时，案件仍未得到妥善处理，需要通过保释方式继续进行调查审理的情况等。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。