根据我国相关法律规定，在侦查阶段被采取刑事拘留措施的犯罪嫌疑人，其不得申请取保候审的时间的上限通常为37日。
具体来说，若在此期间内，公安部门经过仔细斟酌和判断认为有必要对被拘留者进行逮捕，需在拘留之日起的三日内提出向人民检察院的审查批准请求。
然而，在某些特定情形下，这一期限可适当延长一日至四日。
对于那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大嫌疑分子而言，他们的审查批准请求的期限则可延长至三十日。
在收到公安部门提交的审查批准逮捕书之后，人民检察院应在七日内做出是否批准逮捕的决定。
如果人民检察院未批准逮捕，公安部门必须在接获通知后立即释放被拘留者，并将执行情况及时告知人民检察院。
此外，对于那些需要进一步侦查且符合取保候审或监视居住条件的案件，公安部门应依法对其采取相应的强制措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。