在侦查阶段，取保候审的批准权通常属于公安机关。
依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，以下情况下的犯罪嫌疑人或被告人均可适用取保候审措施：
①潜在处罚可能涉及管制、拘役或附加刑中的任何一项；
②预计未来可能被判决有期徒刑以上刑罚，但实施取保候审并不会导致社会安全隐患；
③存在严重健康问题、无法自理生活，或是正处于妊娠期或哺乳期的女性罪犯，取保候审同样能够避免对社会产生危害；
④案件的审判期限已到期，然而案件仍未审理完毕，此时也需要采取取保候审举措。
最后，取保候审的执行工作通常由公安机关负责执行。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。