依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条所明文规定，取保候审的审批权可赋予人民法院、人民检察院及公安机关三者中的任意一家机构。然而，究竟应由哪家机构来行使此项权力，则需考虑到各项具体案情及其现行法律规定进行综合判定决定。若待审理案件尚处于前期筹备阶段，取保候审的审批通常会委托由公安机关负责执行。而当案件已步入审判环节时，可能会由人民法院或者人民检察院来行使这一权力。因此，对于刑事拘留期间取保候审的审批权归属问题，必须结合具体案情进行深入分析与判断。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。