关于刑事拘留之后能否获得取保候审以及取保候审的适宜时机问题，这主要是根据犯罪嫌疑人体现在案件过程中的犯罪行为性质、社会危害性程度等多方面因素进行综合考量和分析。通常情况下，公安部门在实施拘留措施之后，会在最长不超过30天的期限内向检察机关提出申请，请求批准逮捕。在此期间，若公安机关认为犯罪嫌疑人具备取保候审的条件，便可依法为其办理相关手续。
然而，对于具体的执行时间并无明确的法律规定，需要由负责处理此案的司法机构依据实际案情进行判断和决策。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条：人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。