根据我国现行的法律条文，尚未对公安机关向当事人发函通告进行取保候审的具体时限做出明确规定。关于取保候审的执行权限，通常是在公安机关或人民检察院的审查逮捕环节或侦查阶段完成。一旦相关机构做出了对当事人实行取保候审的决策，他们会尽力在最短时间内将此决定通知给犯罪嫌疑人或者其亲属。然而，由于案件的复杂程度以及证据搜集等诸多因素的影响，这一过程的实际操作可能存在差异。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。