依据我国第二百零五条之规定，若犯罪嫌疑人、被告人人合乎取保候审的法定条件，由人民法院、人民检察院及公安机关有权裁决适用取保候审措施。
然而，此项条款并未明文规定提出取保候审申请的时限要求，因此无法直接解答“当事人连云区因涉嫌刑事罪名被拘留后，其聘请的律师申请取保候审需要多长时间”这一问题。在实践操作过程中，申请取保候审的流程可能涉及到递交申请、进行审查以及作出决定等多个环节，而具体所需耗费的时间则会受到案件具体情况以及相关机构工作效率的影响。如需获取更为精确的申请时间信息，建议向当地的法律专家或者相关司法部门进行咨询。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。”