当双方当事人由于相互斗殴行为而遭受刑事拘留时，其犯罪嫌疑极有可能涉及到诸如“寻衅滋事”或者“故意伤害”等严重的罪行。在此情况下，双方当事人应当立即寻求专业律师的协助以进行有效辩护。律师将能够为他们提供申请取保候审、深入了解案件事实以及提供全面的法律咨询服务。更为重要的是，在法院正式审理此案期间，律师还能积极争取对被告人予以从轻或者减轻处罚的机会。与此同时，受害方也有权提起刑事附带民事诉讼，向加害方提出赔偿损失的请求。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。