教师申请办理取保候审的具体流程主要由以下四个环节构成：
首先是提出申请阶段。
根据法律的规定，涉嫌触犯刑法的教师或者他们的法定代理人、近亲家属都有权利向负责处理该案件的司法机关提出取保候审的申请。在这个过程中，申请人需要准备好相关的材料，例如详细的申请书、个人身份证明文件以及与案件有关的重要证据资料等等。
其次是审查批准阶段。当司法机关接到取保候审的申请之后，将会对这些申请进行严格的审查。只有在确认申请者满足了取保候审的条件，比如可能被判处管制、拘役或者独立适用附加刑，或者可能被判处有期徒刑以上刑罚，并且采取取保候审不会对社会造成危害等情况下，才会批准取保候审。
第三步是办理手续阶段。一旦取保候审得到批准，申请人就需要与司法机关签署取保候审决定书，同时还需要按照规定提供担保人或者缴纳一定数额的保证金。
最后一个环节是监督遵守阶段。在取保候审期间，被取保候审的教师必须严格遵守相关的规定，比如随时听从传唤，不得逃避侦查，也不能干扰证人作证等等。如果出现任何违反规定的行为，司法机关有权撤销取保候审。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。