在特定情境中，涉及斗殴案件而面临刑事拘留的被告方当事人有权利申请取保候审。这一规定是指公安部门、人民检察院以及人民法院有权要求犯罪嫌疑人、被告人提出保证人或者缴纳保证金以确保其遵守法律规定，不逃离司法机构的监管，同时能够随传随到以配合调查、起诉以及审判等流程。
至于是否批准取保候审，则需根据公安机关、人民检察院或人民法院对案件的具体情况进行综合评估后作出决定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条规定了取保候审的条件，包括可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的等情形。如果犯罪嫌疑人、被告人符合这些条件之一，且不具有社会危险性，可以申请取保候审。