通常来讲，要是司机承担全部责任，并且保险也已经进行了赔付，那么一般来说司机就没必要再额外掏钱赔偿。
保险的主要功能，就是当被保险人给第三者带来了损害，按照法律规定应当承担赔偿责任的时候，由保险公司在保险责任的限额范围内来给予赔偿。
不过，如果出现了保险赔偿范围之外的损失情况，像超过了保险额度的那部分费用，或者是因为保险理赔的程序等原因而产生的额外费用等等，司机就有可能需要根据具体的实际情况去进行赔偿。
但这可不能一概而论，得要看保险合同里面的条款以及具体的损失状况到底是怎样的。
总而言之，在大多数的情形下，保险赔付完成之后司机是不需要再进行赔偿的。
然而，也不能排除会有一些特殊的情况存在，在这些特殊情况下，司机就需要承担部分或者全部的额外损失。

案情回顾:

小朱驾车与小李发生碰撞，经认定小朱承担全部责任。小朱的保险公司按规定进行了赔付。但小李称还有一些损失未被保险涵盖，要求小朱额外赔偿，小朱认为保险已赔，自己不应再出钱，双方产生争议。

案情分析:

1、如果小李的损失确实在保险赔偿范围外，如超出保额部分，根据规定小朱可能需赔偿。
2、小朱的想法在保险已完全赔付所有应赔项目时合理，但他需确定保险是否真的涵盖了小李的所有损失。若有未涵盖部分，他可能需按实际情况承担赔偿责任。