当遭遇交通事故且对方拒绝支付相关款项时，当事人有权利向公安机关交通管理部门提出调解申请，亦可直接向当地人民法院提起民事诉讼。
首先，应由负责投保机动车强制保险的保险公司在强制保险责任限额的范围之内给与相应的赔偿；
若仍有不足之处，则需由负责投保机动车商业保险的保险公司依据相应的保险合同约定承担后续赔偿责任；
若以上两种方式均无法满足赔偿需求，则由责任人按照相应的比例承担最终赔偿责任。

《中华人民共和国道路交通安全法》第七十四条
对交通事故损害赔偿的争议，当事人可以请求公安机关交通管理部门调解，也可以直接向人民法院提起民事诉讼。
经公安机关交通管理部门调解，当事人未达成协议或者调解书生效后不履行的，当事人可以向人民法院提起民事诉讼。
《中华人民共和国民法典》第一千二百一十三条
机动车发生交通事故造成损害，属于该机动车一方责任的，先由承保机动车强制保险的保险人在强制保险责任限额范围内予以赔偿；
不足部分，由承保机动车商业保险的保险人按照保险合同的约定予以赔偿；
仍然不足或者没有投保机动车商业保险的，由侵权人赔偿。