在面临保险公司理赔存在争议、对投保人、被保险人或受益人不公允的情况下，建议遵循以下程序依法向人民法院提起诉讼维权：
首先，务必确保在法律规定的诉讼时效期限内启动诉讼程序（就民事案件而言，其诉讼时效规定为三年，自权利人知晓自身权益受损及义务人之日起开始计算）；
其次，应选择具有管辖权的人民法院进行诉讼（若涉及因合同纠纷引发的诉讼，则应由被告所在地或合同履行地的人民法院负责审理）；
最后，需向人民法院提交书面的起诉状，同时按照被告方的人数要求提供相应份数的副本。在撰写起诉状时，需要明确记载如下事项：
（1）原告的个人信息（如姓名、性别、年龄、民族、职业、所在单位、居住地址、联系方式等）；
（2）被告的相关信息（如保险公司的名称、注册地址及法定代表人或主要负责人的姓名、职务、联系方式等）；
（3）具体的诉讼请求以及支持该请求的事实与理由（例如，要求重新进行理赔或补充赔偿等。事实与理由部分应依据实际情况详尽填写）；
（4）相关的证据及其来源，以及证人的姓名和居住地址（证据类型可包括但不限于视听资料、电子数据、证人证言、当事人陈述、书证、物证、鉴定意见、勘验笔录等）。

《民法典》第一百八十八条
向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。
法律另有规定的，依照其规定。
诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。
法律另有规定的，依照其规定。
但是，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。