若遭遇保险公司拒绝赔偿的情况，您有权在向法院提起诉讼时要求该公司支付相应的利息。
然而，具体是否能够实现这一权利，需以法官的最终裁决为准。通常而言，仅当保险公司应当依法承担赔偿责任，或者投保人并未出现严重的投保错误，而保险公司却拒绝赔偿、只同意部分赔偿或故意拖延不愿支付赔偿金的情况下，才建议寻求律师协助进行法律诉讼并主张利息请求权。
此外，如果保险公司拒绝赔偿是基于合理的理由，例如被保险人所发生的风险事故并不符合相关条款规定的理赔条件，那么保险公司将无须支付任何利息，甚至可能连已经收取的保费都无法予以退还。

《中华人民共和国民事诉讼法》
第二百五十三条被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行给付金钱义务的，应当加倍支付迟延履行期间的债务利息。被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行其他义务的，应当支付迟延履行金。