律师解析：
若贵方在申请保险赔偿过程中遭遇到保险公司的拒赔或者迟缓支付，则可考虑采取以下措施予以解决：
首先需审慎研读保险相关合约细则，明确自身所享有的权益以及承担的义务；接下来应主动与保险公司展开磋商洽谈，同时提供充分且有力的证据及资料以支撑自身的赔偿诉求。
其次，若经过协商仍无法达成共识，贵方可向保险公司的客户服务中心或相关职能部门进行投诉，要求对方给出处理结果，并妥善保存所有投诉相关的证据文件。
再次，若投诉未能得到满意回应，贵方还可向保险行业监管机构进行投诉或申诉，寻求他们的调解或裁决。保险监管机构主要包括中国保险监督管理委员会及其派出机构、保险行业协会以及保险公估机构等。
最后，若上述措施均未取得预期效果，贵方有权向当地人民法院提起诉讼，通过法律手段来维护自身的合法权益。