针对保险公司拒绝赔偿的问题，我们在向法院提起诉讼的过程中，有权要求保险公司自行支付由此产生的利息费用。
然而，最终能否实现这一请求，需要由法官依据相关法律法规进行裁决。一般来说，只有当保险公司应当承担赔付责任，或者投保方并未存在严重的投保过失行为，而保险公司却拒绝赔偿、仅支付部分款项或者拖延支付的情况下，我们才可以寻求律师的帮助，对其提起诉讼并主张利息权益。
此外，如果保险公司拒绝赔偿是基于合理的理由，即被保险人所遭遇的风险事件并不符合保险合同中的理赔条件，那么保险公司将无须支付任何利息，甚至可能无法返还已经缴纳的保费。

《中华人民共和国民事诉讼法》
第二百五十三条被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行给付金钱义务的，应当加倍支付迟延履行期间的债务利息。被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行其他义务的，应当支付迟延履行金。