在再次申请复查遭到驳回之后，当事人可依法向人民检察院申请提出抗诉申诉。
关于这份抗诉申请的时效性，并未有具体明确的时间界定。
然而，根据相关法律法规的规定，人民检察院应对该抗诉申请进行为期三个月的全面审核，并作出是否接受申诉、提出或不提出检察建议以及是否启动抗诉程序等决定。
当然，未经许可，当事人不得连续两次向同一人民检察院提交相同的抗诉申请。

《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零九条
有下列情形之一的,当事人可以向人民检察院申请检察建议或者抗诉：
(一)人民法院驳回再审申请的;
(二)人民法院逾期未对再审申请作出裁定的;
(三)再审判决、裁定有明显错误的。
人民检察院对当事人的申请应当在三个月内进行审查,作出提出或者不予提出检察建议或者抗诉的决定。
当事人不得再次向人民检察院申请检察建议或者抗诉。