公办编外老师属于劳动者，存在过失性辞退情形或者无过失性辞退情形都会被辞退。过失性辞退是指用人单位在劳动者存在一定过失的情况下，无须事先通知即可以单方解除劳动合同。无过失性辞退指劳动者非过失性原因和客观情况的需要而导致劳动合同无法履行时，用人单位提前通知对方或者支付代通知金后解除劳动合同。

《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条
劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：
（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；
（二）严重违反用人单位的规章制度的；
（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；
（六）被依法追究刑事责任的。