工伤保险九级伤残赔付的申请流程如下：
一、及时报告
单位需在事故发生当日，或者职工被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
特殊情况下，经该部门同意，申请时限可适当延长。
若用人单位未按规定申请，工伤职工、其近亲属或者工会组织，可在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出申请。
二、劳动能力鉴定
职工经治疗，伤情相对稳定，但存在残疾且影响劳动能力时，应进行劳动能力鉴定。
由用人单位、工伤职工或者其近亲属，向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请，同时要提供工伤认定决定以及职工工伤医疗的相关资料。
三、申领待遇
劳动能力鉴定结论作出后，携带相关材料向工伤保险经办机构申领工伤保险待遇，比如一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金等。
具体所需材料及标准，可向当地工伤保险经办机构咨询了解。

案情回顾:

小朱在工作中受伤，单位未在30日内按规定向统筹地区社会保险行政部门申请工伤认定。小朱伤情稳定但有残疾且影响劳动能力，小朱自行申请劳动能力鉴定后，向工伤保险经办机构申领待遇时，单位认为小朱未经单位同意自行申请程序有误，双方产生争议。

案情分析:

1、单位未在规定时间申请工伤认定，小朱有权在1年内直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出申请，其自行申请工伤认定符合法律规定。
2、小朱伤情符合劳动能力鉴定条件，其依法申请鉴定后申领工伤保险待遇是合理合法的，单位的异议不成立。