在交通肇事罪案件中，被告人应承受的法律责任主要包括：
首先是民事赔偿责任，即事故当事人需依据事故责任大小进行经济赔偿；
其次，在刑事责任方面，其涵盖了以下几个方面：
第一，如若违反交通运输管理法规，造成严重后果，如导致人员伤亡或公私财产严重损失等情况，将面临三年以下有期徒刑或拘役的处罚；
第二，若交通肇事后逃逸或具有其他极其恶劣情节的，将被判处三年以上七年以下有期徒刑；
最后，对于因逃逸而导致他人死亡的情形，将被处以七年以上有期徒刑。
此外，如果肇事者在事故中有违规行为，那么他还可能受到相关的行政处罚。
至于具体应承担哪种刑事责任，则需根据实际案情来决定。

《最高人民法院关于审理交通肇事刑事案件具体应用法律若干问题的解释》第四条
交通肇事具有下列情形之一的，属于“有其他特别恶劣情节”，处三年以上七年以下有期徒刑：
（一）死亡二人以上或者重伤五人以上，负事故全部或者主要责任的；
（二）死亡六人以上，负事故同等责任的；
（三）造成公共财产或者他人财产直接损失，负事故全部或者主要责任，无能力赔偿数额在六十万元以上的。
《中华人民共和国刑法》第一百三十三条
【交通肇事罪】违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。