在驾驶过程中饮酒并且导致轻微交通事故且逃避责任的处理方式如下:
根据相关法律法规，由公安机关交通管理部门对此种情况进行严肃处理，包括临时扣留行为人的六个月机动车驾驶证以及处以一千元以上二千元以下的罚款。
然而，倘若涉案人员在此前已经因为同样的原因，即酒后驾车受过行政处罚，那么他将面临更严厉的惩罚:
十天以内的拘留，再附加一千元以上两千元以下的罚款，同时被吊销汽车驾驶执照。

《道路交通安全法》第九十一条
饮酒后驾驶机动车的，处暂扣六个月机动车驾驶证，并处一千元以上二千元以下罚款。因饮酒后驾驶机动车被处罚，再次饮酒后驾驶机动车的，处十日以下拘留，并处一千元以上二千元以下罚款，吊销机动车驾驶证。
醉酒驾驶机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任；五年内不得重新取得机动车驾驶证。