在酒精醉驾及肇事逃逸导致他人遭受轻微损害的情况下，所可能面临的惩罚如下：
首先，交警部门会对该名驾驶员的酒后驾车行为处以1000元至2000元人民币不等的罚款，同时暂时吊销其机动车辆驾驶证。
其次，对于驾驶员的逃逸行为，交警部门将给予200元至2000元人民币不等的罚款，且可能采取额外措施，对其采取最多可达15天的短期刑事拘留。
最后，这两项违法行为将合并执行相较于单纯的罚款和拘留而言，更具威慑力。

《中华人民共和国道路交通安全法》第九十一条
饮酒后驾驶机动车的，处暂扣六个月机动车驾驶证，并处一千元以上二千元以下罚款。因饮酒后驾驶机动车被处罚，再次饮酒后驾驶机动车的，处十日以下拘留，并处一千元以上二千元以下罚款，吊销机动车驾驶证。醉酒驾驶机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任；五年内不得重新取得机动车驾驶证。饮酒后驾驶营运机动车的，处十五日拘留，并处五千元罚款，吊销机动车驾驶证，五年内不得重新取得机动车驾驶证。醉酒驾驶营运机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任；十年内不得重新取得机动车驾驶证，重新取得机动车驾驶证后，不得驾驶营运机动车。