首先，在对方拒绝履行支付子女抚养费用的义务时，作为权利人，您应优先尝试通过友好协商来寻求问题的解决方案，使对方明白，按照法律规定，支付子女抚养费用是他们不可推卸的责任。
然而，假如协商结果并不理想或无法达成共识，那么在此之后，您就有必要向相应的司法机关提出诉讼请求。
在法庭审理过程中，相关部门会依据事实情况做出公正裁决，责令被告方支付所欠付的抚养费用，同时还会对未来的支付方式以及应支付的金额做出详细规定。
在这种情况下，法院往往会结合子女的实际开支需求、父母双方面临的经济压力等多种因素进行全面细致地考量和权衡。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条
离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。
前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。