具体而言，需根据不同情形进行判断与分析。
首先，根据相关法律原则，倘若某位父亲必须承担起某种债务、然而遗憾地在处理这笔债务之前离世，那么他的儿子作为法定继承人，有权对其父所拥有的合法遗产予以继承。
在此种情况下，继承人应承担的责任就是以遗产的实际价值来偿付其父亲所欠之债。
其次，假设遗嘱人所遗留下的债务超出其财富积累，那么，继承人完全可以自行决定是否放弃遗产继承权，这样也就无需再为遗留下的巨额债务负责或代还。

《民法典》第一千一百六十三条
既有法定继承又有遗嘱继承、遗赠的，由法定继承人清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务；超过法定继承遗产实际价值部分，由遗嘱继承人和受遗赠人按比例以所得遗产清偿。