一般而言，在发生交通事故时，肇事车辆的交强险保险公司会在其责任限额范围内首先进行抢救费用的垫付。
这是为了确保伤者能够及时得到救治，避免因费用问题而耽误治疗。
倘若肇事车辆没有投保交强险，或者交强险保险公司垫付后，所需的抢救费用仍然不够，那么此时就会由道路交通事故社会救助基金来进行垫付。
这一基金的设立就是为了应对这种特殊情况，保障伤者的权益。
另外，如果肇事方具备相应的能力，那么也可以由肇事方先行垫付医疗费用。
通常情况下，在交警部门的调解过程中，肇事方会依据事故的责任比例等因素，承担起相应的垫付义务。
这样既可以帮助伤者解决当下的医疗费用问题，也能在一定程度上促进事故的妥善处理。
与此同时，伤者本人或者其家属也可以自行垫付医疗费用。
这是他们的权利，但同时也需要保留好相关的支付凭证，以便后续能够向责任方进行追偿。
总之，在车祸发生后，医院费用的垫付问题确实较为复杂，需要根据具体的实际情况来确定责任主体。
如果在垫付事宜上各方存在争议，那么通过法律途径来解决是一个较为有效的方式，能够保障各方的合法权益。

案情回顾:

小朱驾车发生交通事故致小李受伤，小朱车辆交强险保险公司垫付部分抢救费用后仍不够，小朱认为自己经济困难无力再垫付，小李家属要求小朱必须继续垫付，双方就后续费用垫付问题产生争议。

案情分析:

1、交强险保险公司已在责任限额范围内垫付，按规定在其垫付不足时，道路交通事故社会救助基金应进行垫付，以保障小李救治。
2、小朱若确实无垫付能力，不能强行要求其垫付，小李家属可寻求救助基金垫付。
3、若小李家属自行垫付，应保留好凭证以便后续追偿。