私下赔偿后，在某些特定情况下，是能够向法院起诉的，下面来具体分析：
一、赔偿协议存在问题时
在私下达成赔偿协议的过程中，可能会出现一些影响协议效力的情况。
又或者存在显失公平的情形，一方利用对方处于危困状态、缺乏判断能力等情形，致使赔偿协议中的权利义务明显不对等。
还有可能存在欺诈，一方故意隐瞒真实情况或者编造虚假信息，诱使对方签订赔偿协议；以及胁迫，通过威胁、恐吓等手段迫使对方签订协议。
在这些可撤销或无效的情形下，受损方可以向法院起诉，请求撤销该协议或者确认协议无效，进而重新主张自己的赔偿权利。
二、后续出现新损失时
当私下赔偿完成后，如果又发现因同一事件产生了新的损失，且这些新损失在之前的赔偿中没有得到合理补偿。
那么受害者就可以就新的损失部分向法院提起诉讼，要求责任方承担相应的赔偿责任。
三、赔偿未完全履行时
若责任方没有按照赔偿协议的约定完全履行赔偿义务，
案情回顾:

小朱与小李发生交通事故后私下达成赔偿协议，小朱支付赔偿款。之后小朱认为协议存在重大误解，赔偿金额未涵盖全部损失；小李又因事故受伤引发新并发症产生新费用；且小朱有一期分期赔偿款未按时支付给小李，双方因此产生争议。

案情分析:

1、关于赔偿协议存在重大误解问题，若小朱能证明对赔偿金额对应的损失范围等关键内容存在错误认识且权益受实质影响，可起诉请求撤销协议重新主张赔偿权利。
2、对于小李后续出现新并发症产生新损失，因之前赔偿未涵盖，小李有权就新损失部分起诉要求小朱承担赔偿责任。
3、小朱未按时支付分期赔偿款，未完全履行赔偿义务，小李有权起诉要求小朱履行协议内容。