关于配偶一方死亡后债务的承担问题，具体情况需具体分析，以下为您详细阐述：
一、夫妻共同债务的承担
在婚姻关系存续期间，夫妻双方为了共同生活，比如购买家庭生活用品、共同装修居住房屋等；或者为了共同生产经营，像夫妻共同投资开办工厂、经营店铺等；又或是基于夫妻双方共同意思表示所负的债务，例如夫妻双方共同签字借款用于家庭支出，这些都属于夫妻共同债务。
当一方死亡后，生存一方需要对婚姻关系存续期间的共同债务承担连带清偿责任。
这是因为这些债务是夫妻双方共同生活、经营所产生的，生存一方也从中受益，所以有义务进行偿还。
二、个人债务的承担
如果死亡一方以个人名义超出家庭日常生活需要所负的债务，例如一方未经另一方同意，私自借款用于个人赌博、奢侈消费等，这种债务不属于夫妻共同债务，一般由其个人财产偿还。
当死亡一方的个人财产不足以清偿债务时，通常剩余债务可能因主体消亡而无法得到偿还。
不过，若存在继承人继承了其遗产，继承人应当在继承遗产的范围内对该债务承担清偿责任。
这是为了保障债权人的合法权益，避免债务人通过死亡逃避债务。

案情回顾:

小朱与小李是夫妻，婚姻期间小朱借款投资店铺，后小朱意外死亡。小朱还曾私自借款赌博。小朱死后，债权人要求小李偿还所有借款，小李认为赌博债务不应自己偿还，双方产生争议。

案情分析:

1、小朱借款投资店铺属于夫妻共同生产经营所负债务，为夫妻共同债务。小朱死亡后，小李作为生存一方，需对该共同债务承担连带清偿责任，因其从共同经营中受益。
2、小朱私自借款赌博，属于以个人名义超出家庭日常生活需要所负债务，为个人债务，应由其个人财产偿还。若其个人财产不足清偿，继承人应在继承遗产范围内承担清偿责任。