当借款人不幸去世时，担保人所承担的责任需要根据不同情况来具体分析，以下为你详细阐述：
一、一般保证责任
在一般保证的情形下，保证人拥有先诉抗辩权。
这意味着什么呢？简单来说，就是在面对债务问题时，需要先对借款人的财产进行依法处理。
具体操作是，先以借款人遗留下来的财产去清偿所欠债务。
比如，借款人留下了房产、车辆等财产，这些都要先用于偿还债务。
若借款人的遗产经过清算后，其价值不足以清偿全部债务，这时就需要通过强制执行程序来进一步处理。
只有在经过强制执行后，债务仍然无法得到全部清偿，也就是债权仍然没有得到满足的情况下，担保人才需要对剩余部分的债务承担清偿责任。
二、连带保证责任
连带保证人不具备先诉抗辩权。
当借款期限届满，而借款人没有按照约定履行还款义务时，不管是因为什么原因，包括借款人已经死亡这种情况，债权人都有权利直接要求担保人承担全部债务的清偿责任。
例如，借款到期后借款人去世，债权人就可以直接找担保人索要全部欠款。
而担保人在承担了相应的责任后，有权在自己承担责任的范围内，向借款人的继承人在遗产范围内进行追偿，以维护自身的合法权益。

案情回顾:

小朱向小李借款，小胡作为担保人。借款后小朱不幸去世，其遗产经清算不足以清偿全部债务。小李要求小胡还钱，小胡认为应先处理小朱财产，自己有先诉抗辩权，而小李称小胡是连带保证人无先诉抗辩权，双方产生争议。

案情分析:

1、若小胡承担的是一般保证责任，他拥有先诉抗辩权。应先以小朱遗留财产清偿债务，经强制执行后债务仍未全部清偿，小胡才需对剩余债务承担清偿责任。
2、若小胡承担的是连带保证责任，他不具备先诉抗辩权。借款期限届满小朱未还款且已去世，小李有权直接要求小胡承担全部债务清偿责任，小胡承担责任后可向小朱继承人在遗产范围内追偿。