1.当对方一直处于住院状态而不办理出院手续时，这很可能会使得医疗费用持续上升。
在此情况下，你有权利要求对方提供继续住院治疗的必要依据，比如主治医生所给出的专业意见等。
这些依据能够明确说明为什么对方需要继续住院，以及继续住院对于其病情恢复的重要性。
2.如果经过判断，对方的住院属于不合理的情况，那么你可以与对方进行协商。
在协商过程中，要清晰地告知对方他们应当承担的责任，以及不合理住院可能会给他们带来的一系列后果，比如可能需要自行承担额外的医疗费用等。
通过友好的协商，尝试达成双方都能接受的和解方案。
3.倘若协商无法达成一致，你需要妥善保留相关的证据。
这些证据包括医疗费用清单，它能够清晰地显示出已经产生的医疗费用明细；还有对方的住院记录，它可以反映出对方住院的整个过程和相关情况。
等对方出院之后，你可以通过诉讼的途径来解决问题。
届时，法院会根据实际情况来判断对方住院的合理性，并确定相关费用的承担方。
4.另外，在处理这个问题的过程中，一定要注意诉讼时效的问题。
一般来说，人身损害赔偿的诉讼时效为三年。
这意味着你必须在三年内及时行使自己的权利，否则可能会因为超过诉讼时效而无法获得法律的支持。
所以，要时刻关注诉讼时效的期限，确保自己的权益能够得到有效的保障。

案情回顾:

小朱与小李发生纠纷致小李受伤住院，之后小李一直住院不出院，医疗费用持续上升。小朱要求小李提供继续住院依据，小李拒绝。小朱认为小李住院不合理，协商不成，小朱不知该如何处理及保留证据，还担心诉讼时效问题。

案情分析:

1、小朱要求小李提供继续住院治疗依据是合理的，主治医生的专业意见等能明确住院必要性，若小李无法提供，其住院可能被认定不合理。
2、协商不成时，小朱应保留医疗费用清单、住院记录等证据，以便出院后诉讼时，让法院据此判断住院合理性及确定费用承担方。
3、小朱需注意三年诉讼时效，应及时行使权利，保障自身权益。