当遭遇私人医疗事故时，我们有两种主要途径来处理。
一方面，我们可以向卫生行政部门申请调解，这是一种较为便捷的方式，卫生行政部门会在接到医疗机构关于重大医疗过失行为的报告或者医疗事故争议当事人要求处理医疗事故争议的申请后，对需要进行医疗事故技术鉴定的情况，交由负责医疗事故技术鉴定工作的医学会来组织鉴定。
另一方面，我们也可以直接向人民法院提起诉讼，通过法律途径来维护自己的合法权益。
如果医患双方选择协商解决医疗事故争议，同样需要进行医疗事故技术鉴定的话，就由双方当事人共同委托负责医疗事故技术鉴定工作的医学会组织鉴定。
而如果对卫生行政部门的处理决定不满意，我们还有救济途径，即可以依法申请行政复议或者提起行政诉讼。
总之，在面对私人医疗事故时，我们要根据具体情况，冷静分析，选择最适合自己的途径来解决问题，以保障自己的合法权益。