如果事业单位拥有专门设备及相关技术手段的，网络是可以被监控的。
为管控员工上网活动，用人单位往往会部署诸如“上网审计系统”等专门设备。
所有主机（含移动终端），去往互联网的流量皆会通过该“上网审计系统”设备。

《网络安全法》第二十一条
国家实行网络安全等级保护制度。
网络运营者应当按照网络安全等级保护制度的要求，履行下列安全保护义务，保障网络免受干扰、破坏或者未经授权的访问，防止网络数据泄露或者被窃取、篡改：
（一）制定内部安全管理制度和操作规程，确定网络安全负责人，落实网络安全保护责任；
（二）采取防范计算机病毒和网络攻击、网络侵入等危害网络安全行为的技术措施；
（三）采取监测、记录网络运行状态、网络安全事件的技术措施，并按照规定留存相关的网络日志不少于六个月；
（四）采取数据分类、重要数据备份和加密等措施；
（五）法律、行政法规规定的其他义务。