首先，公交车急刹车免费搭乘的大爷摔伤医药费，应该由公交公司来赔偿。根据《民法典》的规定，承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任。不论是买票乘客还是免票、持优待票或者经承运人许可达成的无票旅客。
有两种情况公交公司可以免除赔偿责任：
1、伤亡是旅客自身健康原因造成的；
2、承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的。
因此，大爷是公交急刹车摔伤的，公交公司不存在免责情形，理应赔偿。

《民法典》第八百二十三条
承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任；但是，伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。
前款规定适用于按照规定免票、持优待票或者经承运人许可搭乘的无票旅客。