私下送养孩子是不合法的。
民法典规定，生父母有特殊困难无力抚养未成年子女的，可以送养。禁止借收养名义买卖未成年人。
同时，收养应当向县级以上人民政府民政部门登记。收养关系自登记之日起成立。
收养关系当事人愿意签订收养协议的，可以签订收养协议。
收养关系当事人各方或者一方要求办理收养公证的，应当办理收养公证。

《民法典》第一千零四十四条
收养应当遵循最有利于被收养人的原则，保障被收养人和收养人的合法权益。
禁止借收养名义买卖未成年人。