孩子抚养权争夺的起诉流程具体如下：
一、准备材料
这是起诉争夺抚养权的基础步骤。
首先要撰写起诉状，在起诉状中，需清晰写明原被告的身份信息，包括姓名、性别、年龄、住址、联系方式等。
诉讼请求部分要明确，事实与理由部分则要阐述清楚争夺抚养权的原因，
此外，还需准备能证明自己抚养条件更有利的各类证据。
二、立案
准备好材料后，要向有管辖权的法院提交，一般是被告住所地法院。
法院收到起诉状和证据材料后，会进行严格审查，查看材料是否齐全、是否符合法定形式等。
若符合立案条件，法院会予以受理，并通知当事人缴费。
三、审理
法院会根据案件情况安排开庭时间。
开庭时，双方需到庭参加诉讼。
在庭审过程中，双方要依次陈述各自观点，出示相关证据，并围绕争议焦点进行辩论。
四、判决
法院会综合双方的证据以及实际情况，按照最有利于未成年子女的原则作出判决。
若一方对一审判决不服，可在规定期限内向上一级法院提起上诉。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，就孩子抚养权产生激烈争夺。小朱认为小李工作繁忙不利于照顾孩子，小李则称自己能提供更好生活条件。小朱准备起诉状及相关证据向法院起诉，法院立案后安排审理，双方庭审时各执一词，最终等待判决。

案情分析:

1、小朱准备材料时，起诉状需明确身份信息、诉求及理由，证据要能证明自身抚养条件更优，如稳定收入、良好居住环境等，若孩子年满8周岁，孩子意愿证明很关键。
2、立案阶段，法院审查严格，符合条件才受理，当事人要按要求缴费。审理时双方应充分陈述、举证、辩论。判决会遵循最有利于未成年子女原则。