关于申请抚养费的相关事宜，下面为你做详细分析：
一、法律依据
我国法律明确规定，父母对子女负有抚养教育的义务，这一义务不会因父母离婚而消失。
当夫妻离婚后，不直接抚养子女的那一方，需要承担子女必要的生活费以及教育费，承担的费用可以是一部分，也可能是全部。
这是基于保障子女正常生活和健康成长的重要原则所确立的法律规定，旨在确保子女在父母离婚后，其生活和教育等方面的需求仍能得到满足。
二、具体情况分析
1.需求重大变化情况：若离婚后的8年里，子女的实际生活和教育等需求出现重大改变，比如子女突然患上重大疾病，需要长期治疗和大量医疗费用；或者随着子女成长，教育费用大幅增加，如进入私立学校或参加各种培训课程等，而当初约定的抚养费数额已无法维持子女正常生活，那么直接抚养子女的一方就可以以子女的名义，向对方提出增加抚养费的要求。
2.约定不明情况：要是离婚时没有对抚养费作出明确约定，或者约定模糊不清，这种情况下，直接抚养子女的一方同样有权要求对方支付抚养费，以保障子女的生活和教育需求。
三、申请途径
首先可以尝试与对方进行协商，双方友好沟通，根据实际情况确定合理的抚养费数额和支付方式。
若协商无法达成一致意见，就可以向人民法院提起诉讼，由法院根据双方的经济状况、子女的实际需求等具体情况，依法作出公正的判决。

案情回顾:

小朱和小李离婚，约定小李支付部分抚养费。8年后，孩子小静突然患重大疾病，医疗费用高昂，且小静进入私立学校，教育费用大增，当初约定的抚养费已不够。小朱以小静名义要求小李增加抚养费，小李却以各种理由拒绝。

案情分析:

1、根据法律规定，父母对子女的抚养教育义务不因离婚而消失。小李作为不直接抚养子女的一方，在小静生活和教育需求出现重大变化时，有义务相应增加抚养费。
2、小朱在与小李协商无果的情况下，有权向人民法院提起诉讼，法院会综合双方经济状况及小静的实际需求等，依法作出公正判决，以保障小静的合法权益。