关于孩子抚养权和继承的法律规定，具体内容如下：
###抚养权
1.哺乳期内子女的抚养权：
哺乳期内的子女会随母方生活。
这是因为在这个阶段，母亲能为孩子提供更适宜的哺育和照顾。
然而，如果母方存在严重疾病，例如患有传染性疾病且可能传染给孩子，或者存在其他不利于子女身心健康的情形，
2.哺乳期后子女的抚养权：
哺乳期过后，法院会综合考虑双方的抚养能力和抚养条件等多方面因素，按照最有利于未成年子女的原则来判决。
例如，一方有稳定的收入，能够为孩子提供良好的生活和教育条件；有良好的居住环境，能让孩子生活得舒适安全等，这些更有利于抚养孩子的条件，在判决时会被优先考虑。
而对于八周岁以上的子女，他们已经有了一定的独立思考和判断能力，法院会尊重其真实意愿。
###继承
1.法定继承：
法定继承中，第一顺序继承人包括配偶、子女、父母；第二顺序继承人包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
当继承开始后，首先由第一顺序继承人继承遗产，此时第二顺序继承人不参与继承。
只有在没有第一顺序继承人继承的情况下，才由第二顺序继承人继承。
2.遗嘱继承：
被继承人有权通过立遗嘱的方式，将个人财产指定由法定继承人中的一人或者数人继承。
并且，遗嘱继承的效力优先于法定继承。

案情回顾:

小朱与小李离婚，孩子尚在哺乳期，小朱患有传染性疾病可能传染给孩子，双方就孩子抚养权产生争议。孩子哺乳期过后，小李收入不稳定且居住环境差，小朱条件较好，但八周岁的孩子表示愿随小李生活。此外，小朱去世后，其遗产继承问题上，法定继承人和遗嘱指定继承人存在分歧。

案情分析:

1、哺乳期内，因小朱患有可能传染给孩子的疾病，从有利于孩子身心健康角度，抚养权可能判给小李。
2、哺乳期后，虽小朱抚养条件好，但孩子八周岁以上且表示愿随小李生活，法院会尊重孩子意愿，抚养权或判给小李。
3、继承方面，若有遗嘱，遗嘱继承效力优先，按遗嘱分配遗产；若无遗嘱，则按法定继承，先由第一顺序继承人继承。