关于起诉抚养费时律师费是否由对方支付的问题，具体情况如下：
一、一般情况
在通常情况下，起诉抚养费时的律师费是由委托律师的一方自行来承担的。
这是因为律师费本质上是当事人为了获取专业的法律服务，从而支付给律师的报酬。
在整个诉讼过程中，它并非是必然会产生的费用。
所以，从常规角度讲，律师费由委托方自行承担是合理的。
二、特殊情况
首先，如果双方在相关协议，例如离婚协议中，已经明确约定了若因抚养费纠纷而产生诉讼，那么败诉方需要承担胜诉方合理的律师费以及其他相关费用。
在这种情况下，就应当按照双方的约定来执行。
其次，在某些特定的案件当中，法院会根据案件的具体情况，从公平合理的角度去考量。
当法院认为让对方承担律师费更符合法律精神以及公平原则时，也有可能判决由对方来承担律师费。
不过，这种情况相对来说是比较少见的，需要综合多方面因素来判定。
综上所述，在没有明确约定或者特殊情形存在的情况下，起诉抚养费的律师费一般还是由自己承担。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，小李未按约定支付孩子抚养费，小朱起诉小李索要抚养费并聘请律师，产生律师费。争议点在于该律师费是否应由小李支付。

案情分析:

1、一般情况下，律师费是当事人为获取法律服务支付给律师的报酬，并非诉讼必然产生的费用，像当事人有能力自行处理诉讼事务就无需聘请律师，所以通常由委托方小朱自行承担。
2、特殊情况中，若离婚协议等有约定败诉方承担胜诉方合理律师费等费用，按约定执行；若法院综合案件情况，从公平合理角度考量认为小李承担更符合法律精神和公平原则，也可能判小李承担，但这种情况较少见。